10944. В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды AB
и CD
. Найдите расстояние между серединой отрезка AD
и прямой BC
, если AC=6
, BC=5
, BD=3
. Ответ при необходимости округлите до двух знаков после запятой.
Ответ. 4,24 (точное значение \sqrt{5}+2
).
Решение. Диагонали четырёхугольника ACBD
перпендикулярны, поэтому суммы их квадратов равны (см. задачу 1344). Значит,
AD=\sqrt{AC^{2}+BD^{2}-BC^{2}}=\sqrt{36+9-25}=2\sqrt{5}.
Пусть N
— точка пересечения хорд AB
и CD
, M
— середина AD
, H
— точка пересечения прямых MN
и BC
. Четырёхугольник ACBD
с перпендикулярными диагоналями вписан в окружность, поэтому MH\perp BC
(см. задачу 369). Значит, расстояние от точки M
до прямой BC
равно длине отрезка MH
.
Пусть CN=x
, NB=y
. Из подобия треугольников ACN
и DBN
и теоремы Пифагора получаем
\frac{x}{y}=\frac{AC}{BD}=2~\Rightarrow~x=2y,
x^{2}+y^{2}=BC^{2}=25~\Rightarrow~5y^{2}=25~\Rightarrow~y=\sqrt{5}~\Rightarrow~x=2\sqrt{5},
Отрезок MN
— медиана прямоугольного треугольника AND
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
MN=\frac{1}{2}AD=\sqrt{5}
(см. задачу 1109). Отрезок NH
— высота прямоугольного треугольника BNC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
NH=\frac{BN\cdot CN}{BC}=\frac{xy}{5}\frac{\sqrt{5}\cdot2\sqrt{5}}{5}=2.
Следовательно,
MH=MN+NH=\sqrt{5}+2=4{,}24...