10950. В неравнобедренном прямоугольном треугольнике ABC
точка M
— середина гипотенузы AC
, а точки H_{a}
и H_{c}
— ортоцентры треугольников ABM
и CBM
соответственно. Докажите, что прямые AH_{c}
и CH_{a}
пересекаются на прямой, проходящей через середины катетов треугольника ABC
.
Решение. Пусть A'
и C'
— середины катетов AB
и BC
соответственно. Треугольники AMB
и CBM
равнобедренные (см. задачу 1109), поэтому их высоты, проведённые из общей вершины M
, проходят через точки A'
и C'
соответственно. Отрезки AA'
и H_{c}C'
параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же прямой BC
. Аналогично, отрезки H_{a}A'
и CC'
параллельны. Кроме того, параллельны отрезки AH_{a}
и CH_{c}
, так как оба они перпендикулярны прямой BM
. Итак, стороны треугольников AA'H_{a}
и H_{c}C'C
соответственно параллельны, значит, эти треугольники гомотетичны (см. задачу 5000). Следовательно, AH_{c}
, CH_{a}
и A'C'
пересекаются в одной точке — центре гомотетии.