10954. В остроугольном треугольнике
ABC
точка
K
— середина стороны
AC
. На сторонах
AB
и
BC
как на основаниях внутрь треугольника построены равнобедренные треугольники
ABM
и
BCN
так, что
AM=BM
,
\angle AMB=\angle AKB
и
BN=CN
,
\angle BNC=\angle BKC
. Докажите, что окружность, описанная около треугольника
MNK
, касается стороны
AC
.
Решение. Первый способ. Из точек
M
и
K
, лежащих по одну сторону от прямой
AB
сторона
AB
видна под одним и тем же углом, поэтому точки
A
,
B
,
M
,
K
лежат на одной окружности (см. задачу 12). Значит,
\angle MAK=\angle MBK
. Отметим на медиане
BK
такую точку
S
, что
BS=AK=CK
. Треугольники
AKM
и
BSM
получаются друг из друга поворотом вокруг точки
M
, поэтому они равны.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих внешних углов
KSM
и
MKC
, поэтому окружность, описанная около треугольника
KSM
, касается прямой
AC
(см. задачу 144). Аналогично доказывается, что окружность, описанная около треугольника
KSN
, касается прямой
AC
. Но окружность, проходящая через точки
K
и
S
и касающаяся прямой
AC
, единственная. Значит, точки
K
,
S
,
M
,
N
лежат на одной окружности, которая касается прямой
AC
в точке
K
.
Второй способ. Из равенства треугольников
AKM
и
BSM
следует также, что
KM=MS
, т. е. что треугольник
KMS
равнобедренный. Значит,
\angle MKS=\angle KSM=\angle MKC,

поэтому
KM
— биссектриса внешнего угла треугольника
ABK
при вершине
K
. Аналогично,
KN
— биссектриса внешнего угла при вершине
K
треугольника
BCK
, поэтому
\angle MKN=90^{\circ}
. Для доказательства требуемого касания достаточно доказать, что
\angle MKC=\angle MNK
(см. задачу 144), или
\angle MKB=\angle MNK
(так как
\angle MKB=\angle MKC
), что эквивалентно перпендикулярности
MN
и
BK
.
Пусть
E
— проекция точки
M
на прямую
BK
. Точка
M
— середина дуги
AMB
описанной окружности равнобедренного треугольника
AMB
, поэтому точка
E
делит пополам длину ломаной
AKB
(см. задачу 157). Аналогично, проекция
F
точки
N
на прямую
BK
делит пополам длину ломаной
CKB
, а так как
AK=CK
, то длины этих ломаных равны, значит,
BE=BF
, т. е. точки
E
и
F
совпадают. Следовательно,
MN\perp BK
, и поэтому
\angle MKC=\angle MNK
. Таким образом, прямая
AC
— касательная к описанной окружности треугольника
MNK
.
Примечание. Отметим связь этой задачи с интересными сюжетами. Для треугольника
AKB
точка
M
— середина дуги
AKB
описанной окружности. Если откладывать на лучах
AK
и
BK
равные отрезки
AX
и
BY
, то точки
X
,
Y
,
K
,
M
будут лежать на одной окружности (см., например, статью А.Полянского «Воробьями по пушкам!», Квант, 2012, N2, с.49-50). В нашем случае
Y=S
,
X=K
, что соответствует касанию окружности с прямой
AC
.