10958. Точка C
лежит внутри полукруга с диаметром AB
, I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Лучи AI
и BI
пересекают данную полуокружность в точках X
и Y
. Докажите, что XY\perp CI
.
Решение. Пусть \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
. Рассмотрим случай, когда \alpha\lt\beta
. Если прямые XY
и AB
пересекаются в точке P
, то \angle APY=\frac{1}{2}(\beta-\alpha)
(см. задачу 27). С другой стороны, CI
как биссектриса треугольника ABC
образует такой же угол с высотой CH
треугольника ABC
(см. задачу 1106). Отсюда следует утверждение задачи.