10973. Окружность с центром на стороне AC
равнобедренного треугольника ABC
(AB=BC
) касается сторон AB
и BC
, а сторону AC
делит на три равные части. Найдите радиус окружности, если BH\cdot AC=18\sqrt{2}
, где BH
— высота треугольника.
Ответ. 2.
Решение. Пусть окружность радиуса R
пересекает сторону AC
в точках M
и N
(M
между A
и N
) и касается стороны AB
в точке K
. Тогда H
— центр окружности, AM=NC=MN=2R
и AH=3R
.
Из прямоугольных треугольников AKH
и ABH
получаем, что
AK=\sqrt{AH^{2}-HK^{2}}=\sqrt{9R^{2}-R^{2}}=2R\sqrt{2},
AB=\frac{AH^{2}}{AK}=\frac{9R^{2}}{2R\sqrt{2}}=\frac{9R}{2\sqrt{2}}
(см. задачу 2728).
Известно (см. задачу 1967), что
HK=\frac{AH\cdot BH}{AB}=\frac{AH\cdot\frac{1}{2}AC}{AB},~\mbox{или}~R=\frac{1}{2}\cdot\frac{18\sqrt{2}}{\frac{9R}{2\sqrt{2}}}=\frac{4}{R},
откуда находим, что R^{2}=4
. Следовательно, R=2
.