10990. Прямоугольный треугольник ABC
вписан в окружность. Его вписанная окружность касается гипотенузы BC
в точке K
, в которой восставлен перпендикуляр к гипотенузе до пересечения с описанной окружностью в точке L
. Известно, что KL=a
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. a^{2}
.
Указание. См. задачу 4862.
Решение. Точка L
лежит на окружности с диаметром BC
, поэтому треугольник BLC
прямоугольный. Отрезок LK
— его высота, проведённая из вершины прямого угла, значит, BK\cdot KC=LK^{2}
(см. задачу 2728)
Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин отрезков, на которые гипотенуза делится точкой касания с вписанной окружностью (см. задачу 4862), следовательно,
S_{\triangle ABC}=BK\cdot KC=LK^{2}=a^{2}.