11000. Точка N
— середина стороны BC
четырёхугольника ABCD
, а M
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
. Известно, что MC:AM=2
, BM:MD=7
, а и площадь треугольника AND
равна 11. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
.
Ответ. 48.
Решение. Обозначим S_{\triangle AMD}=t
. Тогда (см. задачу 3000)
S_{\triangle CMD}=2t,~S_{\triangle AMB}=7t,~S_{\triangle BMC}=14t.
Значит,
S_{ABCD}=t+2t+7t+14t=24t,
а так как AN
и DN
— медианы треугольников BAC
и BDC
, то (см. задачу 3001)
S_{\triangle BAN}=\frac{1}{2}S_{\triangle BAC}=\frac{1}{2}(S_{\triangle AMB}+S_{\triangle BMC})=\frac{1}{2}(7t+14t)=\frac{21}{2}t,
S_{\triangle CDN}=\frac{1}{2}S_{\triangle BDC}=\frac{1}{2}(S_{\triangle CMD}+S_{\triangle BMC})=\frac{1}{2}(2t+14t)=8t.
Поскольку
S_{ABCD}=S_{\triangle BAN}+S_{\triangle AND}+S_{\triangle CDN}),
то
24t=\frac{21}{2}t+11+8t.
Откуда t=2
. Следовательно,
S_{ABCD}=24t=24\cdot2=48.