11001. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, причём AB
— диаметр окружности. Диагональ AC
является биссектрисой угла BAD
. Известно, что AB=5
, BC=1
. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
.
Ответ. \frac{48\sqrt{6}}{25}
.
Решение. Первый способ. Пусть M
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
. Обозначим \angle BAC=\angle DAC=\alpha
. Точки C
и D
лежат на окружности с диаметром AB
, поэтому
\angle ACB=\angle ADB=90^{\circ},~\angle AMD=90^{\circ}-\alpha.
Из прямоугольных треугольников ABC
и ABD
находим, что
\sin\alpha=\sin\angle BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{5},~\cos\alpha=\frac{2\sqrt{6}}{5},~AC=2\sqrt{6},
BD=AB\sin\angle BAD=5\sin2\alpha=10\sin\alpha\cos\alpha.
Следовательно (см. задачу 3018),
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\angle AMD=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{6}\cdot10\sin\alpha\cos\alpha\cdot\sin(90^{\circ}-\alpha)=
=10\sqrt{6}\sin\alpha\cos^{2}\alpha=10\sqrt{6}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{24}{25}=\frac{48\sqrt{6}}{5}.
Второй способ. Точки C
и D
лежат на окружности с диаметром AB
, поэтому
\angle ACB=\angle ADB=90^{\circ}.
Тогда
\cos\angle B=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{5},~AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{25-1}=2\sqrt{6}.
Пусть прямые AD
и BC
пересекаются в точке E
. В треугольнике ABE
биссектриса AC
является высотой, значит, этот треугольник равнобедренный, \angle E=\angle B
, и
S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}BE\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\sqrt{6}=2\sqrt{6}.
Отрезки AC
и BD
— высоты треугольника ABE
, поэтому (см. задачу 59)
S_{\triangle CDE}=S_{\triangle ABE}\cos^{2}\angle E=S_{\triangle ABE}\cos^{2}\angle B=2\sqrt{6}\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{2\sqrt{6}}{25}.
Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle ABE}-S_{\triangle CDE}=2\sqrt{6}-\frac{2\sqrt{6}}{25}=\frac{48\sqrt{6}}{5}.