11014. Точка K
— середина стороны AB
равностороннего треугольника ABC
. На сторонах AC
и BC
взяты точки M
и N
так, что \angle MKN=60^{\circ}
. Докажите, что периметр треугольника MCN
равен половине периметра треугольника ABC
.
Решение. Пусть O
— центр вневписанной окружности треугольника MCN
, касающейся стороны MN
, в точке T
, а продолжений сторон CA
и CB
— в точках P
и Q
соответственно. Тогда (см. задачу 4770)
\angle MON=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle MAN=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}=\angle MKN.
При этом точки K
и O
лежат на биссектрисе угла C
в той полуплоскости относительно прямой MN
, которая не содержит точку C
, поэтому точки O
и K
совпадают. Это следует из единственности точки пересечения одной из дуг окружности, построенной на хорде MN
(см. задачу 12), с лучом CK
. Таким образом, K
— центр этой вневписанной окружности.
Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда MT=MP
, NT=NQ
и CP+CQ=p
(см. задачу 4805), поэтому
CM+CN+MN=CM+CN+(MT+NT)=
=(CM+MP)+(CN+NQ)=CP+CQ=p+p=2p.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. также статью Э.Готмана и В.Дубровского: «О свойствах центра вневписанной окружности», Квант, 1989, N9, с.38-39.