11028. В прямоугольном треугольнике с прямым углом при вершине C
проекции точки M
пересечения медиан на стороны BC
, AC
, AB
обозначим M_{a}
, M_{b}
, M_{c}
соответственно. Докажите, что
S_{\triangle M_{a}MM_{b}}=S_{\triangle M_{a}MM_{c}}+S_{\triangle M_{b}MM_{c}}.
Решение. Пусть прямые MM_{a}
и MM_{b}
пересекают гипотенузу AB
в точках E
и D
соответственно, а прямая MM_{c}
пересекает отрезок M_{a}M_{b}
в точке K
. Тогда M
— середина отрезков M_{a}E
и M_{b}D
(см. задачу 2607). Поскольку CM_{a}:M_{a}B=1:2=CM_{b}:M_{b}A
, прямые M_{a}M_{b}
и AB
параллельны, значит, M
— середина отрезка M_{c}K
. Следовательно, M_{a}M
и M_{b}M
— медианы треугольников KM_{a}M_{c}
и KM_{b}M_{c}
, а так как медиана разбивает треугольник на два равновеликих (см. задачу 3001), то
S_{\triangle M_{a}MM_{b}}=S_{\triangle M_{a}MK}+S_{\triangle M_{b}MK}=S_{\triangle M_{a}MM_{c}}+S_{\triangle M_{b}MM_{c}}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. также статью И.А.Кушнира «Метод вспомогательных точек», Квант, 1996, N2, с.36-39.