11038. Докажите, что прямая изогональна высоте треугольника тогда и только тогда, когда на этой прямой лежит центр окружности, описанной около треугольника.
Решение. Необходимость. Пусть прямая AA_{1}
, изогональная высоте AH_{1}
треугольника ABC
, пересекает описанную окружность этого треугольника в точке D
, а луч AH_{1}
пересекает окружность в точке H
. Тогда \angle BAH_{1}=\angle CAD
.
Вписанные углы BAH
и ADC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Тогда два угла треугольника ADC
соответственно равны двум острым углам прямоугольного треугольника ABH_{1}
. Значит, \angle ACD=\angle AH_{1}B=90^{\circ}
. Следовательно, AD
— диаметр окружности (см. задачу 1689).
Достаточность. См. задачу 20.
Примечание. См. также статью И.А.Кушнира «Метод изогональных прямых», Квант, 2010, N6, с.35-36.