11039. Диаметр круга, касающегося сторон AB
и AC
треугольника ABC
, лежит на стороне BC
. Докажите, что радиус круга равен среднему гармоническому радиуса вписанной в треугольник ABC
окружности и радиуса вневписанной окружности, касающейся стороны BC
(т. е. R=\frac{2rr_{a}}{r+r_{a}}
).
Решение. Пусть I
и I_{a}
— центры соответственно вписанной окружности треугольника ABC
и вневписанной окружности, касающейся стороны BC
; r
и r_{a}
— радиусы этих окружностей; O
— центр окружности с диаметром 2R
на отрезке BC
, касающейся сторон AB
и AC
; точки E
, L
и F
— проекции точек соответственно I
, O
и I_{a}
на прямую AC
; точки M
и N
— точки касания со стороной BC
соответственно вписанной и рассматриваемой вневписанной окружностей.
Точки A
, I
, O
и I_{a}
лежат на одной прямой — прямой, содержащей биссектрису угла A
(см. задачу 1724).
Из подобия прямоугольных треугольников IMO
и I_{a}NO
находим, что
\frac{IO}{OI_{a}}=\frac{IM}{I_{a}N}=\frac{r}{r_{a}}.
Пусть P
— точка пересечения отрезков IF
и OL
. Треугольник PIO
подобен треугольнику FII_{a}
с коэффициентом \frac{IO}{II_{a}}=\frac{r}{r+r_{a}}
, а треугольник PFL
— треугольнику IFE
с коэффициентом \frac{FP}{FI}=\frac{I_{a}O}{II_{a}}=\frac{r_{a}}{r+r_{a}}
. Следовательно,
R=OL=OP+PL=I_{a}F\cdot\frac{IO}{II_{a}}+IE\cdot\frac{FP}{FI}=
=r_{a}\cdot\frac{r}{r+r_{a}}+r\cdot\frac{r_{a}}{r+r_{a}}=\frac{2rr_{a}}{r+r_{a}}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. 1. См. статью И.А.Кушнира «Классические средние в треугольнике», Квант, 2013, N2, с.32-33.
2. P
— точка пересечения диагоналей прямоугольной трапеции IEFI_{a}
(см. задачу 1512).