11044. Пусть AP
и AQ
— изогонали относительно угла, а точки X
и Y
симметричны точке P
относительно сторон угла. Докажите, что прямая AQ
— серединный перпендикуляр к отрезку XY
.
Указание. См. задачу 10618.
Решение. Из симметрии AX=AP=AY
, значит, треугольник XAY
равнобедренный. Пусть M
и N
— проекции точки P
на стороны угла. По теореме о средней линии треугольника XY\parallel BC
, а так как AQ\perp MN
(см. задачу 10564), то AQ\perp XY
. В равнобедренном треугольнике XAY
высота является медианой, следовательно, прямая AQ
— серединный перпендикуляр к отрезку XY
.
Примечание. 1. См. статью Д.Прокопенко «Изогональное сопряжение и педальные треугольники», Квант, 2017, N9, с.38-44.
2. Пусть точка Z
симметрична точке P
относительно прямой BC
. Треугольник XYZ
назовём удвоенным педальным треугольником точки P
. Из доказанного утверждения следует, что изогонали являются серединными перпендикулярами к сторонам удвоенного педального треугольника.