11055. Две окружности пересекаются в точках M
и K
. Из точки A
одной окружности проводятся лучи AM
и AK
, пересекающие вторую окружность в точках B
и C
соответственно. Докажите, что прямые, содержащие медианы всех таких треугольников ABC
, проведённые из вершины A
, пересекаются в одной точке или параллельны.
Указание. См. задачу 10449.
Решение. Точки B
, M
, K
и C
— вершины вписанного четырёхугольника, поэтому
\angle AKM=180^{\circ}-\angle CKM=\angle MBC=\angle SBC,
т. е. отрезки KM
и BC
антипараллельны. Значит, медиана треугольника ABC
содержит симедиану треугольника AMK
(см. задачу 10341).
Если MK
— диаметр первой окружности, то симедиана прямоугольного треугольника AMK
параллельна его высоте, опущенной на гипотенузу MK
. Следовательно, в этом случае медианы, о которых говорится в условии задачи, параллельны.
В любом другом случае симедиана каждого треугольника AMK
проходит через фиксированную точку P
— точку пересечения касательных к первой окружности, проведённых в точках M
и K
(см. задачу 10449).
Примечание. 1. Отметим, что конструкция, рассмотренная в задаче 6538, — частный случай данной конструкции.
2. См. статью Ю.Блинкова «Симедиана», Квант, 2015, N4, с.35-39.
Источник: Журнал «Квант». — 2015, № 4, с. 37, задача 4