11056. Дан треугольник ABC
. Касательная в точке C
к его описанной окружности пересекает прямую AB
в точке D
. Касательные к описанной окружности треугольника ACD
в точках A
и C
пересекаются в точке K
. Докажите, что прямая DK
делит отрезок BC
пополам.
Указание. См. задачи 10449 и 10341.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) следует, что \angle BCD=\angle CAD
, значит, отрезки BC
и AC
антипараллельны. Прямая DK
содержит симедиану треугольника ACD
(см. задачу 10449), следовательно, DK
делит пополам отрезок AC
(см. задачу 10341).
Примечание. См. статью Ю.Блинкова «Симедиана», Квант, 2015, N4, с.35-39.
Источник: Журнал «Квант». — 2015, № 4, с. 37, задача 5
Источник: Всероссийская олимпиада по геометрии. — 2012