11062. Пусть M
— середина основания BC
равнобедренного треугольника ABC
. Точка K
внутри треугольника такова, что \angle ACK=\angle KBC
. Докажите, что \angle BKM+\angle AKC=180^{\circ}
.
Указание. См. задачи 144 и 4121.
Решение. Опишем окружность около треугольника BKC
. Прямая AC
— касательная к этой окружности, так как \angle ACK=\angle KBC
(см. задачу 144). Поскольку AB=AC
, прямая AB
— тоже касательная к этой окружности.
Пусть продолжение отрезка AK
пересекает сторону BC
в точке S
. Тогда KS
— симедиана треугольника BKC
(см. задачу 4121), поэтому \angle BKM=\angle CKS
. Следовательно,
\angle BKM+\angle AKC=\angle CKS+\angle AKC=180^{\circ}.
Примечание. См. статью Ю.Блинкова «Симедиана», Квант, 2015, N4, с.35-39.
Источник: Журнал «Квант». — 2015, № 4, с. 39, задача 6