11075. Из вершины треугольника проведён отрезок в точку на противоположной стороне, делящийся вписанной окружностью на три равные части. Может ли этот отрезок оказаться: а) высотой; б) медианой; в) биссектрисой треугольника?
Ответ. а), в) не может; б) может.
Решение. Пусть D
— такая точка на стороне BC
треугольника ABC
, что отрезок AD
пересекает вписанную окружность в точках M
и N
и делится ими три равные части (точка N
между A
и M
, а E
, F
и L
— точки касания окружности со сторонами AB
, BD
и AC
соответственно.
Заметим, что если AN=DM
, то треугольник ABD
равнобедренный, так как
AB=AE+BE=\sqrt{AM\cdot AN}+BE=\sqrt{DN\cdot DM}+BF=DF+BF=BD
(см. задачу 93). Значит, AD
не может быть ни высотой (так как \angle BDA\lt90^{\circ}
), ни биссектрисой (тогда по свойству биссектрисы треугольника \frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BD}=1
, т. е. AC=CD
, что невозможно, так как CD\lt CF=CL\lt AC
).
Пусть AD
— медиана треугольника ABC
. Тогда в треугольнике со сторонами, пропорциональными числам 5, 10 и 13, медиана, проведённая из вершины среднего по величине угла, делится вписанной окружностью на три равные части (см. примечание к задаче 776).
Примечание. См. также статью В.Дубровского и В.Сендерова «Ловушка для треугольника», Квант, 1999, N3, с.46-50.