11078. Окружность S
касается сторон AB
и AC
треугольника ABC
в точках C_{1}
и B_{1}
, а также касается внутренним образом описанной окружности этого треугольника (полувписанная окружность). Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Докажите, что прямая B_{1}C_{1}
касается описанной окружности треугольника BIC
.
Решение. Точка I
— середина отрезка B_{1}C_{1}
(см. задачу 2984), поэтому I
— середина основания B_{1}C_{1}
равнобедренного треугольника B_{1}AC_{1}
. Значит, AI\perp B_{1}C_{1}
.
Пусть луч AI
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке W
. Тогда WB=WC=WI
(см. задачу 788). Значит, W
— центр описанной окружности треугольника BIC
. Прямая B_{1}C_{1}
проходит через точку I
, лежащую на этой окружности, и перпендикулярна её радиусу, проведённому в точку I
. Следовательно, прямая B_{1}C_{1}
— касательная к этой окружности (см. задачу 1735).
Примечание. См. статью А.Гирича «Несколько задач о треугольниках и окружностях», Квант, 1990, N11, с.46-48.