11084. Докажите, что сумма квадратов диагоналей четырёхугольника в два раза больше суммы квадратов отрезков, соединяющих середины противолежащих сторон.
Решение. Пусть AC
и BD
— диагонали четырёхугольника ABCD
, а K
, L
, M
и N
— середины сторон AB
, BC
, CD
и AD
соответственно. Тогда KLMN
— параллелограмм (см. задачу 1204) с диагоналями KM
и LN
. При этом KL
и LM
— средние линии треугольников ABC
и BCD
, поэтому KL=\frac{1}{2}AC
и LM=\frac{1}{2}BD
. По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (см. задачу 4011)
KM^{2}+LN^{2}=2(KL^{2}+LM^{2})=2\left(\frac{1}{4}AC^{2}+\frac{1}{4}BD^{2}\right)=\frac{1}{2}(AC^{2}+BD^{2}).
Следовательно,
AC^{2}+BD^{2}=2(KM^{2}+LN^{2}).
Что и требовалось доказать.