11089. Диагонали описанного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
. Радиусы описанных окружностей треугольников AOB
, BOC
, COD
, DOA
соответственно равны R_{1}
, R_{2}
, R_{3}
, R_{4}
. Докажите, что R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}
.
Решение. Пусть \angle AOB=\angle COD=\alpha
. Тогда \angle BOC=\angle AOD=180^{\circ}-\alpha
. По теореме синусов (см. задачу 23)
R_{1}=\frac{AB}{2\sin\alpha},~R_{2}=\frac{BC}{2\sin(180^{\circ}-\alpha)}=\frac{BC}{2\sin\alpha},
R_{3}=\frac{CD}{2\sin\alpha},~R_{4}=\frac{AD}{2\sin(180^{\circ}-\alpha)}=\frac{AD}{2\sin\alpha}.
По свойству описанного четырёхугольника AB+CD=BC+AD
(см. задачу 310), следовательно,
R_{1}+R_{3}=\frac{AB}{2\sin\alpha}+\frac{CD}{2\sin\alpha}=\frac{AB+CD}{2\sin\alpha}=
=\frac{BC+AD}{2\sin\alpha}=\frac{BC}{2\sin\alpha}+\frac{AD}{2\sin\alpha}=R_{2}+R_{4}.
Что и требовалось доказать.