11090. Из центра O
описанной окружности треугольника ABC
опустили перпендикуляры OP
и OQ
на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине B
. Докажите, что прямая PQ
делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон CB
и AB
.
Решение. Пусть биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине B
треугольника ABC
пересекают его описанную окружность в точках L
и K
соответственно. Тогда \angle KBL=90^{\circ}
(см. задачу 937), поэтому KL
— диаметр окружности.
Поскольку BL
— биссектриса угла ABC
, точка L
— середина дуги AC
, не содержащей точку B
(см. задачу 430), а так как KL
— диаметр окружности, то K
— середина дуги ABC
. Значит, точки L
и K
равноудалены от концов отрезка AC
. Следовательно, прямая KL
— серединный перпендикуляр к стороне AC
.
Кроме того, P
и Q
— середины хорд BL
и BK
соответственно (см. задачу 1676), поэтому PQ
— средняя линия треугольника KBL
. Значит, PQ\parallel KL
, а так как KL\perp AC
и MN\parallel AC
(как средняя линия треугольника ABC
), то PQ\perp MN
.
Отрезки PM
и PN
равны как средние линии треугольников ABL
и CBL
. Таким образом, точка P
равноудалена от концов отрезка MN
и лежит на перпендикуляре PQ
к этому отрезку. Значит, прямая PQ
— серединный перпендикуляр к этому отрезку. Следовательно, PQ
проходит через середину отрезка MN
.