11102. Даны треугольник ABC
и произвольная точка O
; P
, Q
и R
— точки пересечения медиан треугольников AOB
, BOC
и AOC
соответственно. Докажите, что точка O
и точки пересечения медиан треугольников ABC
и PQR
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины сторон соответственно BC
, AC
и BC
треугольника ABC
, M
и M_{1}
— точки пересечения медиан треугольников ABC
и PQR
соответственно. Тогда (см. задачу 4505)
\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}),
\overrightarrow{OM_{1}}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{OR})=\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{OC_{1}}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OA_{1}}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB_{1}}\right)=
=\frac{2}{9}\left(\overrightarrow{OC_{1}}+\overrightarrow{OA_{1}}+\overrightarrow{OB_{1}}\right)=\frac{2}{9}\left(\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})\right)=
=\frac{2}{9}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\frac{2}{3}\overrightarrow{OM}
(см. задачу 4500). Значит, векторы \overrightarrow{OM_{1}}
и \overrightarrow{OM}
коллинеарны. Следовательно, точки O
, M
и M_{1}
лежат на одной прямой.