11104. В четырёхугольнике ABCD
точки M
и N
— середины сторон AB
и CD
соответственно. Точка K
— середина отрезка MN
. Медианы треугольника BCD
пересекаются в точке P
. Докажите, что точки A
, K
и P
лежат на одной прямой.
Решение. Поскольку P
— точка пересечения медиан треугольника BCD
, то
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AP}
(см. задачу 4505), а так как K
— середина MN
, M
и N
— середины AB
и CD
, то (см. задачу 4500)
\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})\right)=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})=\frac{3}{4}\overrightarrow{AP}.
Значит, векторы \overrightarrow{AK}
и \overrightarrow{AP}
коллинеарны. Следовательно, точки A
, K
и P
лежат на одной прямой.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 9 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2020. — № 16.62, с. 150