11119. а) Докажите, что центр окружности девяти точек треугольника с углами 120^{\circ}
, 30^{\circ}
, 30^{\circ}
лежит на его описанной окружности.
б) Укажите все треугольники, для которых центр окружности девяти точек лежит на его описанной окружности.
Ответ. Все треугольники, у которых a^{2}+b^{2}+c^{2}=5R^{2}
, где R
— радиус описанной окружности треугольника со сторонами a
, b
и c
.
Решение. а) Пусть O
— центр описанной окружности радиуса R
равнобедренного треугольника ABC
с углом 120^{\circ}
при вершине C
, H
— ортоцентр треугольника. Тогда точки O
, C
и H
лежат на одной прямой, треугольник ABH
равносторонний,
CA=2R\sin30^{\circ}=R=OC.
Значит, C
— середина OH
, и вершина C
треугольника ABC
— центр окружности девяти точек (см. задачу 174). Отсюда следует утверждение а).
б) Пусть стороны треугольника равны a
, b
и c
, радиус описанной окружности с центром O
равен R
, а H
— ортоцентр треугольника. Центр E
окружности девяти точек треугольника — середина отрезка OH
(см. задачу 174), Тогда по условию OE=R
, поэтому, OH=2R
, а так как (см. задачу 4145)
OH^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}),
то
a^{2}+b^{2}+c^{2}=9R^{2}-OH^{2}=9R^{2}-4R^{2}=5R^{2}.
Обратно,
a^{2}+b^{2}+c^{2}=5R^{2}~\Rightarrow~OH^{2}=4R^{2}~\Rightarrow~OH=2R~\Rightarrow~OE=R.
Следовательно, точка E
лежит на описанной окружности треугольника. Таким образом, центр окружности девяти точек треугольника лежит на его описанной окружности для тех и только тех треугольников, для которых выполняется условие
a^{2}+b^{2}+c^{2}=5R^{2}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1986, № 5, задача 1016, с. 128