11127. Диагонали AC
и BD
правильного пятиугольника ABCDE
пересекаются в точке M
. Докажите, что AM^{2}=AC\cdot MC
.
Решение. Опишем окружность около данного пятиугольника. Его вершины разбивают эту окружность на пять дуг, равных \frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}
, значит,
\angle ADM=\angle ADB=\angle CAD=\angle CDB=36^{\circ},~\angle MCD=72^{\circ},~\angle CMD=72^{\circ}.
Треугольники AMD
и CDM
равнобедренные, AM=MD=CD
, а DM
— биссектриса равнобедренного треугольника ACD
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{AM}{MC}=\frac{AD}{CD}=\frac{AC}{AM}.
Следовательно, AM^{2}=AC\cdot MC
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Заметим, что
AD=\frac{\frac{1}{2}CD}{\sin18^{\circ}}=\frac{CD}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\frac{2CD}{\sqrt{5}-1}=\frac{CD(\sqrt{5}+1)}{2}
(см. задачу 1494), а так как BC\parallel AD
(см. задачу 6847), то треугольники BMC
и DMA
подобны, поэтому
\frac{AM}{MC}=\frac{AD}{BC}=\frac{AD}{CD}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}.
т. е. диагонали правильного пятиугольника делятся точкой их пересечения в золотом отношении.