11147. В треугольнике ABC
проведены отрезки PQ
и RS
, параллельные стороне AC
, и отрезок BM
(см. рис.). Трапеции RPKL
и MLSC
описанные. Докажите, что трапеция APQC
тоже описанная.
Решение. Пусть
\angle BRS=\angle BAC=2\alpha,~\angle BCM=2\beta,~\angle BLR=\angle BMA=2\varphi.
Тогда (см. задачу 4774)
\frac{PK}{RL}=\tg\alpha\tg\varphi,~\frac{LS}{MC}=\tg\beta\tg(90^{\circ}-\varphi)=\tg\beta\ctg\varphi,
а так как \frac{PQ}{RS}=\frac{PK}{RL}
и \frac{RS}{AC}=\frac{LS}{MC}
(см. задачу 1597), то
\frac{PQ}{AC}=\frac{PQ}{RS}\cdot\frac{RS}{AC}=\frac{PK}{RL}\cdot\frac{LS}{MC}=\tg\alpha\tg\varphi\cdot\tg\beta\ctg\varphi=\tg\alpha\tg\beta.
Следовательно, трапеция APQC
описанная (см. задачу 4774).
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 6.8, с. 152