11153. Вписанная окружность треугольника ABC
касается стороны AC
в точке D
. Вторая окружность проходит через точку D
, касается луча BA
в точке A
и, кроме того, касается продолжения стороны BC
за точку C
. Найдите отношение AD:DC
.
Ответ. 3:1
.
Решение. Пусть вторая окружность касается луча BC
в точке K
, а вписанная окружность касается сторон AB
и BC
треугольника в точках P
и Q
соответственно. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Пусть CD=CQ=x
и AD=AP=kx
. Поскольку BA=BK
и BP=BQ
, то PA=QK
, значит, CK=kx-x
. По теореме о касательной и секущей (см. задачу 93)
CD\cdot CA=CK^{2},~\mbox{т. е.}~x(x+kx)=(kx-x)^{2}.
Разделив обе части этого равенства на x^{2}
, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим, что k^{2}=3k
, т. е. k=3
.
Второй способ. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
, p
— полупериметр треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 219)
CD=p-c=\frac{a+b-c}{2},~CK=BK-BC=AB-BC=c-a.
По теореме о касательной и секущей CD\cdot CA=CK^{2}
, т. е.
\frac{a+b-c}{2}\cdot b=(c-a)^{2}~\Leftrightarrow~b^{2}-(c-a)b-2(c-a)^{2}=0.
Решая это уравнение как квадратное относительно b
, получим, что b=a-c
или b=2(c-a)
.
Равенство b=a-c
противоречит неравенству треугольника, а если b=2(c-a)
, то
AD=p-a=\frac{b+c-a}{2},~DC=p-c=\frac{a+b-c}{2},
следовательно,
\frac{AD}{DC}=\frac{b+c-a}{2}\cdot\frac{a+b-c}{2}=\frac{3c-3a}{c-a}=3.