11170. Из некоторой точки P
опущены перпендикуляры PA_{1}
и PA_{2}
на сторону BC
треугольника ABC
и на высоту AA_{3}
соответственно. Аналогично определяются точки B_{1}
, B_{2}
и C_{1}
, C_{2}
. Докажите, что прямые A_{1}A_{2}
, B_{1}B_{2}
и C_{1}C_{2}
пересекаются в одной точке или параллельны.
Решение. Воспользуемся следующим очевидным утверждением. При гомотетии с центром в вершине X
параллелограмма XYZT
и коэффициентом 2 прямая YT
переходит в прямую, параллельную диагонали YT
, проходящую через вершину Z
.
Пусть l_{a}
— образ прямой A_{1}A_{2}
при гомотетии с коэффициентом 2 и центром P
. Тогда l_{a}
проходит через вершину A_{3}
прямоугольника PA_{1}A_{3}A_{2}
и параллельна прямой A_{1}A_{2}
. При этом прямые A_{3}P
и l_{a}
симметричны относительно прямой AA_{3}
, так как AA_{3}
— серединный перпендикуляр к отрезку PM
, где M
— точка, симметричная P
относительно точки A_{2}
). В то же время, луч A_{3}A
— биссектриса угла B_{3}A_{3}C_{3}
или смежного с ним угла (см. задачу 533), значит, прямая l_{a}
симметрична прямой A_{3}P
относительно биссектрисы угла B_{3}A_{3}C_{3}
или относительно смежного с ним угла.
Аналогично для прямых l_{b}
и l_{c}
. Следовательно, если точка P
не лежит на описанной окружности треугольника A_{3}B_{3}C_{3}
, то прямые l_{a}
, l_{b}
и l_{c}
, симметричные прямым PA_{1}
, PB_{1}
и PC_{1}
относительно биссектрис углов A
, B
и C
соответственно, пересекаются в одной точке (см. задачу 10176).
Если же точка P
лежит на описанной окружности треугольника A_{3}B_{3}C_{3}
, то прямые l_{a}
, l_{b}
и l_{c}
параллельны (см. задачу 10596).