11186. Пусть Q
— произвольная точка окружности с диаметром AB
, QH
— перпендикуляр, опущенный на AB
. Точки C
и M
— это точки пересечения окружности с центром Q
и радиусом QH
с первой окружностью. Докажите, что прямая CM
делит радиус QH
пополам.
Решение. Проведём лучи CH
и MH
до пересечения с окружностью в точках F
и R
соответственно. Тогда \angle MCF=\angle MRF
(вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу) и \angle MCF=\angle MHA
(по теореме об угле между касательной и хордой, см. задачу 87). Значит,
\angle RHB=\angle MHA=\angle MCF=\angle MRF=\angle HRF,
поэтому AB\parallel FR
. Кроме того, треугольник HQM
равнобедренный (QM=QH
как радиусы второй окружности), поэтому \angle HMQ=\angle MHQ
.
Пусть луч QH
пересекает первую окружность в точке W
. Поскольку
\angle HWR=\angle QWR=\angle QMR=\angle QMHR=\angle MHQ=\angle RHW,
треугольник HWR
равнобедренный, HR=WR
. Его высота RI
является медианой, поэтому I
— середина отрезка HW
. Кроме того H
— середина хорды QW
(см. задачу 1676).
Пусть L
— точка пересечения отрезков CM
и QH
. Хорды CF
и MR
первой окружности проходят через середину хорды QW
первой окружности, а хорды CM
и RF
пересекают QW
в точках L
и I
соответственно. Тогда LH=HI
(см. задачу 122). Следовательно,
LH=HI=\frac{1}{2}HW=\frac{1}{2}QH.
Что и требовалось доказать.