11211. Равнобедренная трапеция описана около окружности радиуса 3. Отношение длин одного из оснований и боковой стороны равно \frac{8}{5}
. Найдите меньшее основание трапеции.
Ответ. 3.
Решение. Пусть основания BC
и AD
данной трапеции ABCD
равны a
и b
соответственно. Поскольку трапеция описанная, сумма её основания равна сумме боковых сторон, т. е. 2AB=a+b
. Значит, AB=\frac{a+b}{2}
.
Пусть \frac{AD}{AB}=\frac{8}{5}
, т. е. \frac{2b}{a+b}=\frac{8}{5}
. Отсюда получаем, что b=4a
, поэтому BC=a
— меньшее основание трапеции.
Пусть O
— центр окружности, M
— точка касания с боковой стороной AB
. Тогда \angle AOB=90^{\circ}
(см. задачу 313), а OM
— высота прямоугольного треугольника AOB
, проведённая из вершины прямого угла. Значит, OM^{2}=BM\cdot AM
(см. задачу 2728), или 9=\frac{a}{2}\cdot\frac{b}{2}
, откуда ab=36
, или 4a^{2}=36
. Отсюда находим, что a=3
.