11212. Один из углов треугольника равен 60^{\circ}
. Докажите, что образ ортоцентра треугольника при инверсии относительно описанной окружности лежит на стороне треугольника (или на её продолжении).
Решение. Пусть \Omega
— описанная окружность треугольника ABC
с углом 60^{\circ}
при вершине A
, H
— ортоцентр треугольника ABC
, \Omega_{1}
— описанная окружность треугольника BOC
. Тогда
\angle BHC=180^{\circ}-\angle BAC=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ},
\angle BOC=2\angle BAC=2\cdot60^{\circ}=120^{\circ}=\angle BHC.
Значит, точка H
лежит на окружности \Omega_{1}
(см. задачу 12).
При инверсии относительно окружности \Omega
окружность \Omega_{1}
переходит в прямую BC
(см. задачу 6111), следовательно, точка H
, лежащая на окружности \Omega_{1}
, переходит в точку, лежащую на прямой BC
. Что и требовалось доказать.