11216. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
площадью S
диагонали пересекаются в точке O
. Пусть K
, L
, M
, N
— центры окружностей, вписанных в треугольники AOB
, BOC
, COD
и DOA
. Докажите, что произведение периметров четырёхугольников ABCD
и KLMN
не меньше 4S
.
Решение. Пусть k
, l
, m
и n
— радиусы окружностей, вписанных в треугольники AOB
, BOC
, COD
и DOA
соответственно. Тогда
KL\geqslant k+l,~LM\geqslant l+m,~MN\geqslant m+n,~NK\geqslant n+k,
поэтому периметр четырёхугольника KLMN
не меньше 2(k+l+m+b)
. Кроме того, радиусы вписанных окружностей, площади и периметры этих треугольников связаны равенствами
k=\frac{2S_{\triangle AOB}}{P_{\triangle AOB}},~l=\frac{2S_{\triangle BOC}}{P_{\triangle BOC}},~m=\frac{2S_{\triangle COD}}{P_{\triangle COD}},~n=\frac{2S_{\triangle AOD}}{P_{\triangle AOD}}
(см. задачу 452), а периметр каждого из этих треугольников не превосходит периметра четырёхугольника ABCD
(см. задачу 3266). Значит,
P_{KLMN}\geqslant2(k+l+m+b)=
=4\left(\frac{S_{\triangle AOB}}{P_{\triangle AOB}}+\frac{S_{\triangle BOC}}{P_{\triangle BOC}}+\frac{S_{\triangle COD}}{P_{\triangle COD}}+\frac{2S_{\triangle AOD}}{P_{\triangle AOD}}\right)\geqslant
\geqslant\frac{4(S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle COD}+S_{\triangle AOD})}{P_{ABCD}}=\frac{4S}{P_{ABCD}}.
Следовательно, P_{ABCD}\cdot P_{KLMN}\geqslant4S
.
Примечание. Заметим, что число 4 в нашем неравенстве увеличить нельзя. Действительно, фиксируем в четырёхугольнике ABCD
основание AB
и точку пересечения диагоналей O
, а длину BC
устремим к нулю. Тогда периметр четырёхугольника KLMN
стремится к 2LN
, периметр четырёхугольника ABCD
стремится к периметру треугольника AOB
, а площадь четырёхугольника ABCD
— к площади треугольника AOB
. Значит, дробь \frac{P_{KLMN}\cdot P_{ABCD}}{S_{ABCD}}
стремится к 2LN\cdot\frac{P_{\triangle AOB}}{S_{\triangle AOB}}=4\cdot\frac{LN}{k}
. Но отношение \frac{LN}{k}
за счёт увеличения угла AOB
можно сделать сколь угодно близким к 1. Следовательно, величина \frac{P_{KLMN}\cdot P_{ABCD}}{S_{ABCD}}
может быть сколь угодно близка к 4.