11227. Восстановите остроугольный треугольник ABC
по вершине A
, основанию высоты, проведённой из вершины B
, и центру окружности, описанной около треугольника BHC
, где точка H
— ортоцентр треугольника ABC
.
Решение. Заметим, что фактически нам даны прямая AC
и прямая, содержащая высоту BB_{1}
треугольника ABC
. Поскольку вершина A
дана, достаточно построить вершины B
и C
. Это можно сделать различными способами.
Первый способ. Воспользуемся следующим фактом. Окружности, описанные около треугольников ABC
и BHC
, равны (см. задачу 5046). Пусть BB_{1}
— высота, O_{1}
— центр окружности \omega
, описанной около треугольника BHC
, A_{1}
— точка, симметричная данной вершине A
относительно данной прямой, содержащей высоту BB_{1}
. Тогда либо \angle BAC=\angle BA_{1}C
(рис. 1), либо \angle BAC+\angle BA_{1}C=180^{\circ}
(рис. 2). В каждом из этих случаев в равных окружностях точка A_{1}
, симметричная A
относительно прямой BB_{1}
, лежит на окружности \omega
.
Отсюда вытекает способ построения.
1. Построим точку A_{1}
, симметричную точке A
относительно точки B_{1}
.
2. Строим окружность \omega
с центром в точке O_{1}
и радиусом O_{1}A_{1}
.
3. Восстанавливаем перпендикуляр к прямой AB_{1}
в точке B_{1}
.
Точку C
получим как пересечение окружности \omega
и прямой AB_{1}
, а точку B
— как пересечение окружности \omega
и перпендикуляра из пункта 3. Треугольник ABC
— искомый по построению.
Второй способ. Заметим, что A
— ортоцентр треугольника BHC
. Воспользуемся следующим фактом. Середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности (окружность девяти точек), центр которой — середина отрезка OH
, где O
— центр описанной окружности треугольника, H
— ортоцентр (см. задачу 174).
Радиус окружности девяти точек равен половине радиуса окружности, описанной около треугольника. В нашем случае, в треугольнике BHC
центр окружности девяти точек — середина отрезка AO_{1}
(O_{1}
— центр окружности, описанной около треугольника BHC
), а точка B_{1}
на ней лежит.
Отсюда вытекает способ построения (рис. 3).
1. Построим точку E
— середину отрезка AO_{1}
.
2. Строим окружность \omega
с центром в точке O_{1}
и радиусом 2EB_{1}
.
3. Восстанавливаем перпендикуляр к прямой AB_{1}
в точке B_{1}
.
Точки B
и C
получаем аналогично предыдущему построению.
Примечание. Второй способ решения можно завершить иначе. Строим окружность с центром в точке E
и радиусом EB_{1}
. На пересечении с прямой AB_{1}
получим точку M
— середину AC
. Далее, восстанавливаем точку C
, окружность, описанную около треугольника BHC
и получаем точку B
.
Автор: Филипповский Г. Б.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2019, XV, задача 3, 10-11 классы
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2019, XV, задача 3, 10-11 классы