11233. Докажите, что сумма радиусов трёх вневписанных и вписанной окружностей прямоугольного треугольника равна его периметру.
Решение. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a
и b
, гипотенуза равна c
, полупериметр треугольника равен p
, r
— радиус вписанной окружности, r_{a}
, r_{b}
и r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей, касающихся катетов и гипотенузы соответственно. Тогда (см. задачи 219 и 1750)
r_{a}=p-b,~r_{b}=p-a,~r_{c}=p,~r=p-c.
Следовательно,
r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=(p-b)+(p-a)+p+(p-c)=4p-(a+b+c)=4p-2p=2p.
Что и требовалось доказать.