11235. В треугольнике ABC
проведена биссектриса BK
.
а) Докажите, что \frac{AK}{AB}=\frac{CK}{BC}
.
б) Найдите площадь треугольника ABC
, если AB=15
, BC=13
и BK=\frac{15\sqrt{13}}{4}
.
Ответ. \frac{105\sqrt{3}}{4}
.
Решение. Первый способ. а) См. задачу 1509.
б) Через точку K
параллельно стороне BC
проведём прямую, пересекающую сторону AB
в точке M
. Тогда
\angle BKM=\angle CBK=\angle ABK=\angle ABM.
Значит, треугольник BKM
равнобедренный с основанием BK
. Треугольник AMK
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом
\frac{AK}{AC}=\frac{AK}{AK+KC}=\frac{AB}{AB+BC}=\frac{15}{15+13}=\frac{15}{28}
(см. задачу 1509). Значит, MK=\frac{AK}{AC}\cdot BC=\frac{15}{28}\cdot13
.
Высота MH
равнобедренного треугольника BKM
является его медианой, поэтому
KH=\frac{1}{2}BK=\frac{15\sqrt{13}}{8}.
Тогда
MH=\sqrt{MK^{2}-KH^{2}}=\sqrt{\left(\frac{15}{28}\cdot13\right)^{2}-\left(\frac{15\sqrt{13}}{8}\right)^{3}}=
=\frac{15}{4}\sqrt{\frac{13^{2}}{7^{2}}-\frac{13}{2^{2}}}=\frac{15}{4\cdot7\cdot2}\sqrt{13(52-49)}=\frac{15\sqrt{3\cdot13}}{56}.
Значит (см. задачу 3000),
S_{\triangle ABK}=\frac{AB}{BM}S_{\triangle BKM}=\frac{AC}{AK}S_{\triangle BKM}=\frac{28}{13}\cdot\frac{1}{2}BK\cdot MH=
=\frac{28}{13}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{15\sqrt{13}}{4}\cdot\frac{15\sqrt{3\cdot13}}{56}=\frac{15^{2}\sqrt{3}}{16}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{AC}{AK}S_{\triangle ABK}=\frac{28}{15}\cdot\frac{15^{2}\sqrt{3}}{16}=\frac{7\cdot15\sqrt{3}}{4}=\frac{105\sqrt{3}}{4}.
Второй способ. а) См. задачу 1509.
б) Обозначим \angle ABK=\angle CBK=\alpha
. По теореме косинусов
CK^{2}=BC^{2}+BK^{2}-2BC\cdot BK\cos\alpha,AK^{2}=AB^{2}+BK^{2}-2AB\cdot BK\cos\alpha.
Тогда (см. задачу 1509)
\frac{CK^{2}}{AK^{2}}=\frac{BC^{2}}{AB^{2}}=\frac{BC^{2}+BK^{2}-2BC\cdot BK\cos\alpha}{AB^{2}+BK^{2}-2AB\cdot BK\cos\alpha},
BK(AB^{2}-BC^{2})=2AB\cdot BC\cdot(AB-BC)\cdot\cos\alpha,
cos\alpha=\frac{(AB+BC)\cdot BK}{2AB\cdot BC}=\frac{(13+7)\cdot7\sqrt{13}}{2\cdot7\cdot13\cdot4}=\frac{5}{2\sqrt{13}},~\sin\alpha=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}},
значит,
\sin\angle ABC=\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}\frac{5}{2\sqrt{13}}=\frac{15\sqrt{3}}{26}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin2\alpha=\frac{1}{2}\cdot13\cdot7\cdot\frac{15\sqrt{3}}{26}=\frac{105\sqrt{3}}{4}.