11238. Пусть M
и I
— точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника ABC
, а r
— радиус вписанной в него окружности. Докажите, что MI=\frac{r}{3}
тогда и только тогда, когда прямая MI
перпендикулярна одной из сторон треугольника.
Решение. Пусть C_{1}
и C_{2}
— точки касания со стороной AB
соответственно вписанной и вневписанной окружностей треугольника ABC
, C_{1}C_{3}
— диаметр вписанной окружности, C'
— середина стороны AB
. Известно, что AC_{1}=BC_{2}
(см. задачу 4805), поэтому IC'
— средняя прямоугольного треугольника C_{1}C_{2}C_{2}
, значит, IC'\parallel CC_{2}
. Пусть при гомотетии с центром M
и коэффициентом -2
точка I
переходит в некоторую точку N
. Поскольку лучи IC'
и NC
противоположно направлены, точка N
лежит на отрезке CC_{2}
. Аналогично, точка N
лежит на отрезках, соединяющих вершины A
и B
с соответствующими точками касания вневписанных окружностей со сторонами BC
и AC
, т. е. N
— точка Нагеля треугольника ABC
(см. задачу 4284). Поскольку IN=3IM
, точка N
получается из M
гомотетией с центром I
и коэффициентом 3.
Перейдём к решению задачи. Пусть IM=\frac{r}{3}
. Докажем, что MI\perp AB
. Поскольку IN=3IM=r
, точка N
лежит на вписанной окружности треугольника. При этом точка N
лежит на отрезке CC_{2}
, значит, это либо точка C_{3}
, либо отличная от C_{3}
точка пересечения вписанной окружности с отрезком CC_{2}
. Последнее невозможно, так как тогда эта точка и точка C
лежали бы по одну сторону от касательной к вписанной окружности, проведённой в этой точке. Следовательно, точка N
совпадает с C_{3}
, а так как IC_{3}\perp AB
, то и MI\perp AB
. Что и требовалось доказать.
Обратно, пусть AB\perp IM
. Тогда точка N
лежит и на прямой IC_{1}
, и на прямой CC_{2}
, а так как треугольник ABC
неравнобедренный, то эти прямые различны. Следовательно, точка N
совпадает с C_{3}
, и r=IN=3IM
. Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью Д.Прокопенко, Д.Швецова «Вокруг точки на медиане», Квант, 2020, N2, с.42-46.