4284. Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке (точка Нагеля).
Указание. Примените теорему Чевы (см. задачу 1621).
Решение. Рассмотрим треугольник ABC
. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=a
. Пусть A'
, B'
, C'
— точки касания вневписанных окружностей треугольника со сторонами BC
, AC
, AB
соответственно, K
— точка касания первой из этих окружностей с продолжением стороны AB
, p
— полупериметр треугольника.
Тогда
BA'=BK=AK-AB=p-c
(см. задачу 4805). Аналогично
A'C=p-b,~CB'=p-a,~B'A=p-c,~AC'=p-b,~C'B=p-a.
Поэтому
\frac{AC'}{C'B}\cdot\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CB'}{B'A}=\frac{p-b}{p-a}\cdot\frac{p-c}{p-b}\cdot\frac{p-a}{p-c}=1.
Следовательно, по теореме Чевы (см. задачу 1621) отрезки AA'
, BB'
и CC'
пересекаются в одной точке.
Источник: Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. — Ч. 2: Геометрия (планиметрия). — М.: ГТТИ, 1952. — № 134(е), с. 49
Источник: Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — М.: Учпедгиз, 1962. — с. 18
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 66, с. 187
Источник: Яглом И. М. Геометрические преобразования. — Т. 1: Движения и преобразования подобия. — М.: ГИТТЛ, 1955. — с. 83
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 5.71, с. 114
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.86, с. 111
Источник: Куланин Е. Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах: Экспериментальное учебное пособие для 8—10 кл. школ физико-математического направления. — М.: НИИ школ, 1990. — № 61, с. 105
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 9.2, с. 72