11266. На сторонах треугольника ABC
расположены точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
. При этом известно, что AA_{1}\leqslant1
, BB_{1}\leqslant1
и CC_{1}\leqslant1
. Докажите, что площадь треугольника не превосходит \frac{1}{\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть треугольник ABC
неостроугольный: \angle BAC\geqslant90^{\circ}
. Тогда BAB_{1}
— наибольший угол в треугольнике BAB_{1}
, а высота CH=h_{c}
треугольника ABC
, проведённая из вершины C
, — катет прямоугольного треугольника CHC_{1}
, поэтому
AB\leqslant BB_{1}\leqslant1,~h_{c}\leqslant CC_{1}\lt1.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot h_{c}\leqslant\frac{1}{2}\cdot1\cdot1=\frac{1}{2}\lt\frac{1}{\sqrt{3}}.
Пусть треугольник ABC
остроугольный, а BAC
— его наименьший угол. Известно, что наименьший угол треугольника не больше 60^{\circ}
(см. задачу 1197). Тогда один из двух других углов треугольника ABC
не меньше 60^{\circ}
. Пусть это угол ABC
. Тогда
\sin\angle ABC\geqslant\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Пусть AP=h_{a}
— высота треугольника ABC
, проведённая из вершины A
. Тогда h_{a}\leqslant AA_{1}\leqslant1
. Поскольку треугольник остроугольный, основания его высот лежат на сторонах (а не на их продолжениях, см. задачу 174). Из прямоугольного треугольника APB
получаем, что
AB=\frac{h_{a}}{\sin\angle ABC}\leqslant\frac{1}{\sin\angle ABC}\leqslant\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot h_{c}\leqslant\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot1=\frac{1}{\sqrt{3}}.