11270. Через основания L
и M
биссектрисы BL
и медианы BM
неравнобедренного треугольника ABC
провели прямые параллельно сторонам соответственно BC
и BA
до пересечения с прямыми BM
и BL
в точках D
и E
. Докажите, что угол BED
прямой. (Решите задачу в предположении, что точка пересечения ME
и DL
лежит внутри треугольника ABC
.)
Решение. Пусть O
— точка пересечения ME
и DL
, K
— точка пересечения прямых ME
и BC
. Тогда MK
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому ME
— медиана треугольника MBC
. Значит, MO
— медиана треугольника MDL
(см. задачу 2607), поэтому OL=OD
.
По свойству параллельных прямых
\angle DLB=\angle LBC,~\angle MEL=\angle ABL=\angle LBC.
Значит,
\angle MEL=\angle DLB,~OD=OL=OE,
т. е. в треугольнике LED
медиана EO
равна половине стороны LD
. Следовательно, угол DEL
прямой (см. задачу 1188). Отсюда следует утверждение задачи.