11273. Дан треугольник ABC
. Постройте отрезок MN
с концами на сторонах AB
и BC
, параллельный стороне AC
и видимый из середины стороны AC
под прямым углом.
Решение. Пусть K
— середина стороны AC
, точка M
лежит на стороне AB
, точка N
— на стороне BC
.
Первый способ. Построим вне треугольника ABC
полуокружность с диаметром AC
. Пусть P
— точка её пересечения с продолжением медианы BK
. Тогда \angle APC=90^{\circ}
.
При гомотетии с центром B
, переводящей точку P
в K
, луч PA
перейдёт в луч с началом в точке K
, сонаправленный с лучом PA
, а точка A
— в некоторую точку M
, лежащую на стороне AB
. Аналогично строится точка N
на стороне BC
. При этом отрезок AC
перейдёт в параллельный ему отрезок MN
, а \angle MKN=90^{\circ}
.
Второй способ. Построим биссектрисы KM
и KN
треугольников AKB
и CKB
соответственно. Докажем, что MN
— искомый отрезок.
Угол MKN
прямой как угол между биссектрисами смежных углов. Пусть F
— точка пересечения BK
и MN
. Тогда F
— середина MN
(см. задачу 2607), значит, KF
— медиана прямоугольного треугольника MKN
, проведённая из вершины прямого угла. Тогда треугольник KFM
равнобедренный (см. задачу 1109), поэтому
\angle AKM=\angle MKF=\angle KMF.
Значит, FM\parallel AK
. Следовательно, MN\parallel AC
.