11283. Точки M
и N
— середины сторон CD
и DE
пятиугольника ABCDE
, в котором BC\parallel AD
и BD\parallel AE
. Отрезки BN
и AM
пересекаются в точке O
. Докажите, что площади четырёхугольника OMDN
и треугольника ABO
равны.
Решение. Пусть отрезки AD
и BE
пересекаются в точке Q
. Четырёхугольники ABCD
и BCDE
равновелики, так как их общая часть — четырёхугольник BCQD
. Также равновелики треугольники ABQ
и DEQ
(см. задачу 3017). Кроме того, равновелики треугольники ABC
и BCD
, так как у них общее основание BC
, а высоты равны расстоянию между параллельными прямыми AD
и BC
. Значит,
S_{\triangle ACD}=S_{ABCD}-S_{\triangle ABC}=S_{BCDE}-S_{\triangle BCD}=S_{\triangle BDE}.
Тогда (см. задачу 3001)
S_{\triangle AMD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}S_{\triangle DBE}=S_{\triangle BNE},
S_{ABCM}=S_{BCDN}=S_{ABCD}-S_{\triangle AMD}=S_{BCDE}-S_{\triangle BEN}=S_{BCDN}.
Вычитая S_{BCMO}
из обеих частей равенства S_{ABCM}=S_{BCDN}
, получаем, что S_{\triangle AOB}=S_{OMDN}
.