11291. Докажите, что треугольник со сторонами a
, b
, c
и радиусом R
описанной окружности остроугольный тогда и только тогда, когда a^{2}+b^{2}+c^{2}\gt8R^{2}
.
Указание. См. задачу 3254(б).
Решение. Поскольку
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=1
(см. задачу 3254(б)), треугольник остроугольный тогда и только тогда, когда
\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=1-(\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma)\gt0,
т. е. тогда и только тогда, когда
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma\lt1,~\mbox{или}~\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta+\sin^{2}\gamma\gt2.
Умножив на 4R^{2}
обе части последнего равенства, получим, что
4R^{2}\sin^{2}\alpha+4R^{2}\sin^{2}\beta+4R^{2}\sin^{2}\gamma\gt8R^{2},~\mbox{или}~a^{2}+b^{2}+c^{2}\gt8R^{2}
(см. задачу 23, теорема синусов).