11294. Пусть стороны треугольника равны a
, b
, c
, радиусы вписанной и описанной окружностей равны r
и R
соответственно. Докажите, что:
\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{1}{2rR}.
Решение. Пусть площадь данного треугольника равна S
, а полупериметр равен p
. Тогда S=\frac{abc}{4R}
(см. задачу 4259) и S=pr
(см. задачу 452). Значит,
\frac{1}{ab}=\frac{c}{4RS},~\frac{1}{bc}=\frac{a}{4RS},~\frac{1}{ac}=\frac{b}{4RS}.
Следовательно,
\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{1}{4RS}(a+b+c)=\frac{2p}{4RS}=\frac{1}{2R\cdot\frac{S}{p}}=\frac{1}{2rR}.