11299. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, M
— точка касания этой окружности со стороной BC
, K
— середина стороны BC
. Докажите, что прямая KI
делит отрезок AM
пополам.
Решение. Пусть прямые KI
и AM
пересекаются в точке L
, а вневписанная окружность треугольника ABC
касается стороны BC
в точке N
. Тогда CN=BM
(см. задачу 6411), значит, K
— середина отрезка MN
, а так как KI\parallel AN
(см. задачу 6729), то по теореме Фалеса L
— середина AM
.
Примечание. См. также статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.
Источник: Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — задача 3, с. 61
Источник: Журнал «Квант». — 2007, № 4, с. 31
Источник: Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — с. 538