11299. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, M
— точка касания этой окружности со стороной BC
, K
— середина стороны BC
. Докажите, что прямая KI
делит отрезок AM
пополам.
Решение. Пусть прямые KI
и AM
пересекаются в точке L
, а вневписанная окружность треугольника ABC
касается стороны BC
в точке N
. Тогда CN=BM
(см. задачу 6411), значит, K
— середина отрезка MN
, а так как KI\parallel AN
(см. задачу 6729), то по теореме Фалеса L
— середина AM
.
Примечание. См. также статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.