11304. Постройте треугольник по вершине, точке пересечения медиан и центру вписанной окружности.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть G
— данная точка пересечения его медиан, I
— данный центр вписанной окружности, A
— данная вершина, P
и N
— точки касания соответственно вписанной и описанной окружностей со стороной BC
, A_{1}
— середина стороны BC
.
Пусть прямая A_{1}I
пересекает высоту AH
в точке Q
. Тогда AQ=IP=r
, где r
— радиус вписанной окружности (см. задачу 802). Пусть прямая, проходящая через точку Q
параллельно BC
, пересекает отрезок AN
в точке F
. Поскольку AN\parallel A_{1}I
(см. задачу 6729), прямоугольные треугольники AQF
и IPA_{1}
равны по катету и прилежащему острому углу. Значит, AF=IA_{1}
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. На продолжении отрезка AG
за точку G
отложим отрезок GA_{1}=\frac{1}{2}AG
. Через данную точку A
проведём прямую, параллельную прямой A_{1}I
, и отложим на ней такой отрезок AF=A_{1}I
, чтобы точки A
и A_{1}
лежали по разные стороны от прямой IF
. Затем построим на отрезке AF
как на диаметре окружность, и через точку Q
её пересечения с прямой A_{1}I
проведём прямую AQ
. Тогда \angle AQF=90^{\circ}
. Через точку A_{1}
перпендикулярно AF
проведём прямую. Пусть H
— точка её пересечения с прямой AQ
. Тогда AH
— высота искомого треугольника ABC
. С центром в точке I
строим окружность радиусом, равным AQ=r
. Наконец, из данной точки A
проводим касательные к этой окружности. Точки их пересечения с прямой A_{1}H
— вершины B
и C
искомого треугольника ABC
.
Примечание. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.