11310. В угол с вершиной O
вписана окружность. На ней отмечены диаметрально противоположные точки A
и B
, ни одна из которых не совпадает с точкой касания. Касательная к окружности в точке A
пересекает стороны угла в точках C
и D
, а прямую OA
— в точке E
. Докажите, что BC=DE
.
Решение. В точке A
проведём касательную к окружности. Пусть она пересекает лучи OC
и OD
в точках C'
и D'
соответственно. Рассмотрим вписанную окружность треугольника OC'D'
и его вневписанную окружность, касающуюся стороны C'D'
. Вторая из этих окружностей — окружность, данная в условии. Пусть первая касается стороны C'D'
в точке B'
. Тогда B'C'=D'A
(см. задачу 4805). Значит, BC=DE
, что следует из гомотетии окружностей с центром гомотетии O
(см. задачу 6411).