11311. Дан прямоугольный треугольник ABC
(\angle C=90^{\circ}
) с заданными положениями точки G
пересечения медиан и центра I
вписанной окружности. При помощи одной линейки разделите периметр этого треугольника пополам.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, r
и p
— радиус вписанной окружности и полупериметр треугольника. Прямая AG
пересекает катет BC
в его середине A_{1}
. Пусть Q
— точка пересечения прямой A_{1}I
с катетом AC
. Тогда AQ=r
(см. задачу 802), значит,
AB+AQ=c+r=c+\frac{a+b-c}{2}=\frac{a+b+c}{2}=p
(см. задачу 217). Следовательно, прямая A_{1}Q
делит периметр треугольника ABC
пополам.
Примечание. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.