11313. Пусть I_{a}
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны BC
в точке N
, P
— точка касания вписанной окружности со стороной BC
, A_{1}
— середина этой стороны. Докажите, что:
а) прямая I_{a}P
проходит через середину высоты AH
;
б) I_{a}A_{1}\parallel AP
;
в) прямая I_{a}A_{1}
пересекает продолжение высоты AH
в точке, удалённой от вершины A
на расстояние, равное радиусу r_{a}
рассматриваемой вневписанной окружности;
г) прямая I_{a}A_{1}
проходит через середину отрезка AN
.
Решение. а) При гомотетии с центром A
, переводящей вписанную окружность треугольника ABC
во вневписанную, отрезок BC
переходит в параллельный ему отрезок B'C'
, касающийся вневписанной окружности в некоторой точке P'
, диаметрально противоположной точке N
. Значит, точки A
, P
и P'
лежат на одной прямой — на прямой, содержащей диагональ AP'
трапеции AHP'N
. Точка I_{a}
— середина основания NP'
этой трапеции, а P
— точка пересечения её диагоналей, следовательно, прямая I_{a}P
проходит через середину второго основания AH
(см. задачу 1513).
б) Точка A_{1}
— середина отрезка NP
(см. задачу 6411), а точка I_{a}
— середина отрезка NP'
, значит, I_{a}A_{1}
— средняя линия треугольника PNP'
. Следовательно, I_{a}A_{1}\parallel P'P\parallel AP
.
в) Пусть прямые I_{a}A_{1}
и AH
пересекаются в точке Q
. Поскольку I_{a}Q\parallel AP'
и I_{a}P'\parallel AQ
, четырёхугольник AQI_{a}P'
— параллелограмм. Следовательно, AQ=I_{a}P'=r_{a}
.
г) Пусть прямые I_{a}A_{1}
и AN
пересекаются в точке T
. Поскольку AQ=r_{a}=NI_{a}
и AQ\parallel NI_{a}
, треугольники ATQ
и NTI_{a}
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, AT=TN
, т. е. T
— середина отрезка AN
.
Примечание. 1. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.
2. См. также статью А.Блинкова и Ю.Блинкова «Вневписанная окружность», Квант, 2009, N2, с.34-37, 45.