11317. Дан четырёхугольник ABCD
, в котором AB=BC
, CD=DA
и AB\perp BC
. Точка M
— середина стороны CD
, а точки K
и L
лежат на прямой BC
, причём AK=AL=AM
. Точки P
, Q
и R
— середины отрезков BD
, MK
и ML
соответственно. Докажите, что PQ\perp PR
.
Решение. Учитывая, что
\overrightarrow{BQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BK})~\mbox{и}~\overrightarrow{BR}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BL})
(см. задачу 4500), получим
\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{BQ}-\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BK})-\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BK}-\overrightarrow{BD})=
=\frac{1}{2}((\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BD})+\overrightarrow{BK})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{BK}),
\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{BR}-\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BL})-\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BL}-\overrightarrow{BD})=
=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BL})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{BK}).
Заметим, что PQ\perp PR
, тогда и только тогда, когда
0=\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{BK})(\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{BK})=\frac{1}{4}(DM^{2}-BK^{2}),
т. е. тогда и только тогда, когда DM^{2}=BK^{2}
, а так как AB\perp BK
, то это равенство равносильно условию
AK^{2}-AB^{2}=DM^{2}.
Поскольку AM
— медиана равнобедренного треугольника ACD
, получаем (см. задачу 4014)
AK^{2}=AM^{2}=\frac{1}{4}(2AC^{2}+2AD^{2}-CD^{2})=\frac{1}{4}(2AC^{2}+CD^{2})=
=\frac{1}{4}(2AC^{2}+4DM^{2}).
Значит, равенство
AK^{2}-AB^{2}=DM^{2}
равносильно равенству
\frac{1}{4}(2AC^{2}+4DM^{2})-AB^{2}=DM^{2},~\mbox{или}~\frac{1}{2}AC^{2}+DM^{2}-AB^{2}=DM^{2},
которое равносильно равенству AB^{2}=\frac{1}{2}AC^{2}
. Последнее равенство верно, так как по условию треугольник ABC
прямоугольный и равнобедренный. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1985, № 7, задача 947 (1984, с. 156), с. 233