11322. Продолжения сторон AD
и BC
выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
; M
и N
середины сторон AB
и CD
соответственно, P
и Q
— середины диагоналей AC
и BD
соответственно. Докажите, что:
а) S_{PMQN}=\frac{1}{2}|S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ACD}|
;
б) S_{\triangle OPQ}=\frac{1}{4}S_{ABCD}
.
Решение. а) Пусть точка O
лежит на лучах AD
и BC
, а угол между прямыми OA
и OB
равен \alpha
. Четырёхугольник PMQN
— параллелограмм, а его стороны NP
и NQ
соответственно параллельны OA
и OB
(см. задачу 1234), значит,
S_{PMNQ}=NP\cdot NQ\sin\alpha=\frac{1}{2}AD\cdot\frac{1}{2}BC\sin\alpha=
=\frac{1}{4}AD\cdot BC\sin\alpha.
Высоты треугольников ABD
и ACD
, опущенные из вершин B
и C
соответственно равны OB\sin\alpha
и OC\sin\alpha
, поэтому
|S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ACD}|=\left|\frac{1}{2}AD\cdot OB\sin\alpha-\frac{1}{2}AD\cdot OC\sin\alpha\right|=
=\frac{1}{2}AD\cdot|OB-OC|\sin\alpha=\frac{1}{2}AD\cdot BC=2S_{PMNQ}.
Следовательно,
S_{PMQN}=\frac{1}{2}|S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ACD}|.
б) См. задачу 1079.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 4.29, с. 86
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 4.29, с. 85